Во первых, этот угол от величины ребра не зависит. Угол этот равен 90°. Это можно доказать кучей способов. 1) Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D — правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD — это центр правильного треугольника A1BD — пусть это точка Q1. У пирамиды AA1BD основание A1BD — правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD — это центр правильного треугольника A1BD — точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку Q1 — центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно плоскости A1BD, а — значит — и любой прямой в этой плоскости, в том числе A1B.2) пусть вектора AD=i; AB=j; AA1=k; — три ортогональных вектора, равных по величине. Тогда А1B=j — k; AC1=i+j+kили, в координатном представленииA1B=(0,1,-1); AC1=(1,1,1); длина ребра принята за 1) Легко видеть, что скалярное произведение этих векторов равно 0+1 — 1=0, то есть они перпендикулярны.3) способ для [… ]Если продлить DC за вершину С на расстояние, равное ребру куба, и соединить полученную точку Е с точкой С1, то очевидно, что C1E II D1C, а D1C II A1В, поэтому искомый угол — это угол АС1Е в треугольнике AC1E, стороны которого равны (если ребро равно 1, если ребро равно 7, то все длины просто в 7 раз больше) A1C=√ (1^2+1^2+1^2)=√3; С1E=A1B=√2; AE=√ (1^2+2^2)=√5; Легко видеть, что A1C^2+C1E^2=AE^2; то есть это прямоугольный треугольник, и искомый угол — прямой.
