В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой, что ВМ: АМ=1:16. Известно, что ВС=3, АВ=17. Найдите радиус окружности, касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности, вписанной в данную трапецию. Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых. Значит. Она находится не внутри трапеции, а вне. Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16ВМ=ВТ=1ТС=СК=(3-1)=2Найдем радиус вписанной в трапецию окружности. Опустим из вершины В высоту ВН. НЕ=ВТ=1АН=16-1=15Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон — из Пифагоровых троек. ВН=8 (можно проверить по т. Пифагора). Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4. Треугольник СОD — прямоугольный (боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом). Высота ОК этого треугольника (радиус к СD в точку касания перпендикулярен) — среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу. ОК²=СК*КD16=2*КDКD=16:2=8В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна: АВ + СD=BC+AD17+10=3+24 — стороны найдены верно. К — точка касания вписанной и вневписанной окружностей. КD=DE=8DP=DК по свойсву отрезков касательных. ЕР=ЕD+DP=16Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР. ОЕ и О1Р — перпендикуляры. ОХ|| ЕР. Следовательно, ОХРЕ — прямоугольник. ОХ=ЕР=16Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х. В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей (оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке) Тогда ОО1=R+rО1Х=R-rr=4По т. Пифагора (ОО1) ²- (О1Х) ²=(ОХ) ² (R+4) ²- (R-4) ²=16²16R=16²R=16-Как вариант — вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней. Тогда вторая половина решения (после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно.-bzs@
