В ромб вписана окружность

Пусть в многоугольник с числом сторон N вписана окружность. Конечно, это не любой многоугольник. Но единственное его особое свойство — существует точка, равноудаленная от всех его сторон. Центр вписанной окружности соединяем с вершинами многоугольника. Теперь многоугольник разрезан на несколько (по числу сторон, для 80-угольника — на 80) треугольников с общей вершиной в центре окружности. В каждом из треугольников высота, проведенная из этой общей вершины — это радиус вписанной окружности r, проведенный в точку касания окружности и стороны. Поэтому площадь треугольника, содержащего сторону многоугольника номер n (обозначим ее a (n) , n принимает значения от 1 до N, это просто номер стороны, равна a (n)*r/2; Складываем площади всех таких треугольников, очевидно получаем для площади многоугольникаS=(a (1)+a (2)+… +a (N)*r/2=P*r/2; где Р=a (1)+a (2)+… +a (N); — периметр N-угольника. Поэтому, единственное ограничение на применение формулы S=(a (1)+a (2)+… +a (N)*r/2=P*r/2; состоит в том, что в N-угольник можно вписать окружность.