На основании bc треугольника abc найдите точку m так…

Пусть в тр-ке АВС найдена такая точка М. Тогда есть две окружности. Одна с центром в точке О1, касается стороны АВ в точке E, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р1. Очевидно, что АР=АE, BE=BР1, MP1=MP; Вторая окружность с центром О2 касается стороны АС в точке Т, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р2. АР=АТ, СТ=СР2, МР2=МР. Все, что надо сообразить — что АЕ=АТ (оба эти отрезка равны АР). Отметим на стороне АВ точку Е1 так, что ВЕ1=ВЕ + МР, АЕ1=АЕ — МР. Аналогично отметим точку Т1 на АС так, что СТ1=СТ + МР, АТ1=АТ — МР. Рассмотрим три точки М, Е1, Т1. Они обладают следующими свойствами: АЕ1=АТ1, ВЕ1=ВМ, СМ=СТ1. Нетрудно понять, что это — точки касания вписанной в АВС окружности. Доказать это проще простого — рассмотрим системуx+y=a; x+z=b; z+y=c; решение (выписывать его нет нужды) такой системы единственно. Это — все доказательство (ну, если кто не понял, точки касания вписанной окружности делят стороны именно так, а раз это можно сделать единственным способом, то …). Поэтому точка М — это точка касания стороны ВС вписанной окружностью.