Задача 23 из теста 2 для ГИА по математике. Площадь треугольника ABC равна 140. На стороне AC взята такая точка М, что AM: CM=3:2. Биссектриса AL пересекает прямую BM в точке K Найдите площадь четырехугольника MCLK, если известно, что MK: BK=1:3 Решение: Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM: CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC, равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56. Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. Единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56). Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK: BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM: AB как MK: BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM: CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC, равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56. Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. Единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56). Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK: BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM: AB как MK: BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок AM составлял по условию задачи 3 части, а теперь составляет одну часть отрезок AB теперь составляет 9 частей, а отрезок MC содержит 2 части, как дано по условию задачи. Тогда сторона AC составляет 5 частей и всего AB+AC=3+2=14 частей. Легко подсчитать, что на 1 часть приходится 140:14=10 квадратных единиц площади. Поэтому площадь треугольника ALC будет равна 10*5=50 кв. Единиц, и площадь треукгольника ALB будет равна 90 кв. Ед. Площадь треугольника AKM равна 84:4=21 (кв. Ед.) Тогда искомая площадь четырехугольника MCLK равна 50 — 21=29 (кв. Единиц). Задача решена полностью!
