В треугольнике АВС проведена биссектриса ВD. На ней взята точка…

1) Если BD — медиана и высота, то AD=DC, ∠ADB=∠CDB=90°, BD — общая. ΔABD=ΔCBD по двум катетам. Откуда АВ=ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.2) Если BD — высота и биссектриса, то ∠ABD=∠DBC, ∠ADB=∠BDC, BD — общая. ΔABD=ΔCBD по 2 катету и двум прилежащим углам. Откуда АВ=ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.3) Если BD — биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В1, так, что BD=DB1. В ΔABD и ΔСDB1: AD=DC (т.к. вD — медиана) BD=DB1∠ADB=∠CDB1 (из построения, как вертикальные). Таким образом, ΔABD=ΔCDB1 по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда ∠ABD=∠CB1D, АВ=В1С. Аналогично ΔADB1=ΔBDC. ∠AB1D=∠DBC, AB1=BC. Т. К. ∠ABD=∠DBC (т.к. BD — биссектриса), то ∠ABD=∠DBC=∠AB1D.ΔВВ1А — равнобедренный, т.к. ∠ABD=∠AB1D,