Я не знаю, насколько вы знакомы со свойствами ортотреугольника, поэтому коротко докажу пару свойств. Смотрите чертеж, все — в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos (C) " без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.1. Тр-к А1В1С подобен АВС. А1С=АС*cos (C); B1C=BC*cos (C); A1C/B1C=AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны. САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный — подобны.2. Из 1 следует, что угол АВ1С1=угол А1В1С. ВВ1 — препендикуляр к АС, поэтомуугол С1В1В=угол А1В1В. То есть В1В — БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1. САМО СОБОЙ, С1С и А1А — тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1; Вот теперь можно и задачку порешать.A1F/FD1=В1С1/А1С1 по свойству биссектриссы, но из подобия (см 1.) и теоремы синусов следуетВ1С1=АВ1*sin (A) /sin (C)=AB*cos (A)*sin (A) /sin (C); A1С1=А1В*sin (B) /sin (C)=AB*cos (B)*sin (B) /sin (C); Делим одно на другое, получаем A1F/FD1=cos (A)*sin (A) / (cos (B)*sin (B); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы… Итак, задача ИДЕОЛОГИЧЕСКИ решена, осталось вычислить углы в треугольнике. Способов тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее — синусы и косинусы… это, так сказать, титанический способ. А можно — по теореме косинусов.12^2=18^2+15^2 — 2*18*15*cos (A); cos (A)=3/4; sin (A)=корень (7) /4; 15^2=18^2+12^2 — 2*18*15*cos (B); cos (B)=9/16; sin (B)=корень (7)*5/16; A1F/FD1=16/15 Если бы я тут за очками гнался, ни за что бы не стал за 5 очков решать эту задачу
