Ребра правильного тетраэдра DABC равны а, к-середина…

1) все грани тетраэдра будут правильными треугольниками AK⊥BC; ∠KAB=∠KAC; =30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой) ∠ (DA, ABC)=∠DAK; a) по теореме о трех косинусах cos (∠DAK)=cos (∠DAC) /cos (∠KAC)=1/√3 cos (вектор_DA, вектор_AK)=cos (180 − ∠DAK)=−cos (∠DAK)=−1/√3 скалярное произведение вектор_DA · вектор_AK=|DA|·|AK|·cos (вектор_DA, вектор_AK)=−a²/√3 b) AT||BC; AT=BC=a; ∠KAT; =30+60=90° по теореме о трех косинусах cos (∠DAT)=cos (∠KAT) ·cos (∠DAK)=1/√6 cos (вектор_DA · вектор_BC)=cos (вектор_DA · вектор_AT)=cos (180 − ∠DAT)=−cos (∠DAT)=−1/√6 скалярное произведение вектор_DA · вектор_BC=|DA|·|BC|·cos (вектор_DA · вектор_BC)=−a²/√6 2) DA1C1C не является гранью если там DD1C1C a − ребро куба AT||BD1; AT=BD1; AT²=BD1²=3a² AM²=a²+(½a) ²+(½a) ²=(3/2) ·a² TM²=(3/2) ·a) ²+(½a) ²=(5/2) ·a² по теореме косинусов TM²=AM²+AT² — 2·AM·AT·cos (∠TAM) cos (∠TAM)=(√2) /3 cos ∠ (вект_AM, вект_BD1)=cos (∠TAM)=(√2) /3 > 0 угол острый, т.к. косинус положительный