ДАНО: Координаты точек: A (0, -3) B (-1, 0) НАЙТИ: Найти уравнение прямой проходящей через точки A (0, -3) и B (-1, 0). РЕШЕНИЕ: Построим прямоугольную (декартову) систему координат. В данной системе координат построим точки A (0, -3) и B (-1, 0). Соединим построенные точки — получим прямую, уравнение которой нам необходимо найти. Получим уравнение прямой проходящей через две точки в общем виде. Воспользуемся предыдущим рисунком, внеся в него следующие изменения: точку A (0, -3) будем обозначать A (x1, y1), а точку B (-1, 0) соответственно B (x2, y2). Что будем делать? Для произвольной точки плоскости М (x, y) найдем условие, которое бы выполнялось, если точка М (x, y) принадлежит прямой AB, и не выполнялось, если точка М (x, y) не принадлежит прямой AB. Нарисуем точку М (x, y) на прямой AB. Условие? Очевидно, что если точка М (x, y) принадлежит прямой, то векторы и параллельны. (они лежат на одной прямой) AM ABЕсли точка М (x, y) не принадлежит прямой, то векторы и не параллельны.AM ABМожно выбрать любую пару векторов, но данный выбор удобнее. Запишем данное условие аналитически, т.е. в виде формулы. Найдем координаты рассматриваемых векторов.AM=(x — x1 , y — y1) AB=(x2 — x1 , y2 — y1) Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны. Запишем пропорцию.x — x1=y — y1 (1) x2 — x1 y2 — y1Мы получили уравнение прямой проходящей через две произвольные точки A и B (1). Зачем нам данный вывод? Ответ очень простой. В знаменателях уравнения (1) стоят координаты вектора, ABкоторый параллелен нашей прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.AB (направляющий вектор принято обозначать) SПри решении задач, достаточно часто встречается ситуация, когда нам известны координаты одной точки прямой и направляющий вектор прямой (т.е. координаты вектора которому параллельна искомая прямая). Уравнение прямой (1) позволяет мгновенно написать уравнение прямой в данной ситуации. Например: нахождение высот и медиан треугольникаНа что стоит обратить внимание в уравнении (1)? Очевидно, знаменатели уравнения (1) не могут обращаться в ноль, т.е. данное уравнение невозможно применить для прямых параллельных осям координат. Вернемся к нашей исходной задаче. Подставим координаты точек A (0, -3) и B (-1, 0) в полученное уравнение прямой (1).x — 0=y — (-3) -1 — 0 0 — (-3) x=y+3 (2) -1 3Главное, что необходимо запомнить: В знаменателях уравнения (2) стоят числа -1 и 3. Вектор=(-1, 3) называется направляющим вектором прямой AB.SВектор=(-1, 3) параллелен прямой AB.S3 (x)=-1 (y+3) 3 x=- y — 33 x+y+3=0 (3) Мы не будем доказывать следующее утверждение, но запомнить его необходимо: Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой (3) равны 3 и 1. Вектор=(3, 1) называется нормальным вектором прямой AB.NВектор=(3, 1) перпендикулярен прямой AB.NВектор=(3, 1) перпендикулярен вектору=(-1, 3).N SА где ответ? Как правило, при решении задач используются обе формы записи (2) и (3) уравнения прямой проходящей через две точки. Почему векторы нарисованы не в масштабе? Коэффициенты в уравнении прямой могут быть достаточно большими. И вектор элементарно не поместится на рисунке. Почему векторы нарисованы не из центра координат? В математике, вектор характеризуется двумя факторами: направлением и длиной. Абсолютно безразлично, в какой точке вектор имеет свое начало.
