Д-ть, что диагональ куба перпендикулярна любой скрещивающийся…

Используем теорему о трех перпендикулярах. Если проекция прямой перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и сама прямая перпендикулярна этой прямой. Проекцией диагонали куба на боковую грань, где находится скрещивающаяся с ней диагональ, является другая диагональ этой грани.т.к. грани — квадраты, то диагонали его взаимно перпендикулярны. Следовательно, проекция перпендикулярна диагонали боковой грани, значит и сама диагональ ей перпендикулярна.