Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде 12) Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М (х, у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают. Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений. Пример 10. Пересекаются ли прямые 3 х +4 у-1=0 и 2 х +3 у-1=0? Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1; 1). Пример 11. Параллельны, ли прямые 2 х-у +2=0 и 4 х-2 у-1=0? Решение: Решим систему уравнений Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны. Пример 12. Совпадают ли прямые х + у +1=0 и 3 х +3 у +3=0? Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны. Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х + у-1=0, х-у +2=0 и через точку (2,1). Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2 х +1=0, откуда Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2 у-3=0, откуда. Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2; 1) Искомое уравнение будет, или или откуда или x+5y-7=0
