В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки…

Если построить окружность по трем точкам К, М и С, то точка А неизбежно попадет на нее. В самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы КАС и КА1С (А1 — точка пересечения АС с окружностью, проходящей через К, М, С), можно увидеть, что в треугольнике АА1К внешний угол равен внутреннему, посколькуугол КА1С=180 — угол КМС и угол КАС=180 — угол КМС (это задано в условии). Поэтому точка А может лежать только на построенной окружности. То есть вокруг АКМС можно описать окружность. Если провести в четырехугольнике АКМС диагнонали АМ и КС, тоУгол ВКМ=угол КАМ + угол КМА=угол КСМ + КСА=угол ВСА (углы КАМ и КСМ — вписанные, опираются на дугу АК описанной окружности вокруг АКМС, то есть они равны, аналогично углы КМА и КСА вписанные, опираются на дугу КА, поэтому и они равны). Теперь видно, что в треугольниках АВС и ВКМ угол В общий, а угол ВКМ=угол ВСА, то есть эти треугольники подобны. При этому ВК (в тр-ке ВКМ) соответствует ВС (в тр-ке АВС), а ВМ соответствует АВ. А) следует непосредственно из подобия треугольников АВС и ВКМ. Б) из условия следует, что площадь тр-ка ВКМ составляет 1/9 от площади тр-ка АВС. Поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3. То есть АВ/ВМ=3