В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E , K и L – середины ребер AA1 …

Треугольник KLM равносторонний, его стороны a^2=1^2+(1/2) ^2+(1/2) ^2=3/2; a=√ (3/2); Точка Р — пересечение продолжений MN и EL; еще пусть MQ II ELQ лежит на KL) и ТЕ II EK; К лежит на EL; Ясно, что LN=NT=TL=a/5; при этом LQ=a*(2/5) потому что LQ/QL=EM/MK=2/3; то есть LQ/LK=2/ (2+3)=2/5То есть NQ=LQ — LN=a/5=LN; Следовательно, треугольники MQN и LNP равны (стороны и углы при них равны) и LP=MQ, а MN=NP; MQ легко вычислить MQ/EL=MK/EK=3/5; то есть MQ=a*(3/5); Таким образом, получилось вот что MN=NP=a*(3/5); Теперь надо провести из точки N перпендикуляр к EL. Пусть его основание Н. Ясно, что NH/h=NL/KL=1/5; NH=h/5; где h — высота треугольника EKL; h=a*√3/2; поэтому NH=a*√3/10; При этом HL/ (EL/2)=NL/KL=1/5; HL=a/10; HP=HL+LP=a/10+a*3/5=a*7/10; MN^2=NP^2=HP^2+NH^2=a^2*(√3/10) ^2+a^2*(7/10) ^2=a^2*(52/100)=a^2 (13/25); MN=a*√13/5=√ (3/2)*√13/5=√78/10; Другое решение Треугольник KLM равносторонний, его стороны a^2=1^2+(1/2) ^2+(1/2) ^2=3/2; a=√ (3/2); KM=a*3/5; KN=a*4/5; cos (угол MKN)=cos (60°)=1/2; По теореме косинусов MN^2=(a*3/5) ^2+(a*4/5) ^2 — (a*3/5)*(a*4/5)=a^2*13/25; MN=a*√13/5=√78/10; Вся задача решилась, и ответ получился в одну строку. Прошу прощения за арифметическую ошибку.