Если соединить центры окружностей, получится равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС=4 и боковыми сторонами АС=АВ=3. Центры обеих окружностей (не заданных, а которые надо найти) лежат на оси симметрии этого треугольника, то есть на высоте к основанию АМ, где М — середина ВС. Заранее неизвестно, различные это точки или нет. Сразу замечу, что АМ=√5; 1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС. Отсюда OA=R — 1; OB=OC=R — 2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ=√5 надо найти точку О, такую, что ОА=R — 1; OB=R — 2; и заодно найти R. Ясно, что МО=АМ — ОА=√5 — (R — 1); OB=(R — 2); BM=2; и MO^2+MB^2=OB^2; то есть (√5+1 — R) ^2+2^2=(R — 2) ^2; это даже не квадратное уравнение — члены с R^2 сокращаются. R=(√5+1) ^2/ (2*(√5 — 1)=(√5+1) ^3/8=√5+2; интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС.2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С. Отсюда O1A=r+1; O1B=O1C=r+2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ=√5 надо найти точку О1, такую, что О1А=r+1; O1B=r+2; и заодно найти r. Ясно, что МО1=АМ — О1А=√5 — (r+1); O1B=(r+2); BM=2; и MO1^2+MB^2=O1B^2; то есть (√5 — 1 — r) ^2+2^2=(r+2) ^2; это опять таки не квадратное уравнение. r=(√5 — 1) ^2/ (2*(√5+1)=(√5 — 1) ^3/8=√5 — 2; О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают.
