Точки А, В, С, Д размещены на кругу так, что АВ=ВС=СА…

Соединим точки А, В и С в треугольник. Каждый угол этого треугольника опирается на равную дугу. Так как углы вписанные, то они равны ½ ·360:3=60°. Соединим последовательно точки С, D, А. Получившийся четырехугольник АВСD — вписанный. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°∠ СВА +∠СDА=180°. ∠СDА=180-60=120° ВD — биссектриса ∠ В по условию задачи. Поскольку Δ АВС — равносторонний, биссектриса в нем и высота, и медиана. Отсюда СА⊥ВD, СН=АН. Δ ВСD=Δ ВАD по первому признаку равенства треугольников: в них равны стороны АВ и ВС, сторона ВD общая, равен и угол между этими сторонами. ∠СВD=60:2=30°∠ СDВ=120:2=60° ∠ ВСD=180- (60+30)=90° Δ СВD — прямоугольный. ВD — его гипотенуза. Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника является диаметром окружности, в которую этот треугольник вписан. ВD- диаметр, что и требовалось доказать.