на каждой из двух окружностей с радиусами 5 и 12 лежат по три вершины…

Обозначим ромб АВСД, АС-большая диагональ, ВД-меньшая. О-точка пересечения диагоналей ромба. По условию окружность радиусом=5 описана вокруг треугольника АВД, а окружность радиусом=12 — вокруг треугольника АВС. Эти треугольники равнобедренные поскольку АВСД-ромб. Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен R=а квадрат/корень из (4 а квадрат-d квадрат). Где а — сторона ромба, d-меньшая диагональ. Причем в знаменателе выражение большей диагонали ромба. То есть R=а квадрат/D. Это известные формулы. Отсюда 5=а квадрат/D и 12=а квадрат/d. Тогда тангенс угла ВАО=d/D=5/12. Это угол 22 градуса 37 мин. Тогда угол АВО=67 гр.23 мин. Угол АВС вдвое больше, то есть 134 гр.46 мин. Он вписанный, значит опирается на дугу вдвое большую в градусном измерении 269 гр. 32 мин. То есть в окружности радиусом R=12, имеем хорду АС стягивающую известную дугу. Тогда АС=L=2R*sin (Ф/2)=2*12*sin134 гр.46 мин.=17,04. Тогда искомая сторона АВ=АО/cosbao=(AC/2) /cos22 гр. 37 мин.=8,52/0,92=9,26.