41

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке…

sergey-unit 28 декабря 2018

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках A и B, причем MA=8; MB=6. Определите радиусы окружностей.

категория: геометрия

78

А вот вам такое решение (уж и не знаю, как вы к нему отнесетесь Дополнительно я обозначу центры окружностей О1 и О2, и точку пересечения общей касательной в точке М с АВ, как Р. Легко увидеть, что угол АМВ прямой (доказать это есть много способов, например так — O1A II O2B, поэтому сумма углов AO1M и BO2M равна 180°, а угол МАВ равен половине угла AO1M, угол MBA — половине угла MO2B, то есть их сумма 90°). Кроме того, Р — середина АВ (все касательные из точки Р равны между собой. То есть МР — медиана прямоугольного треугольника АМВ. Поскольку это «египетский» (то есть подобный треугольнику 3,4,5) треугольник с катетами 6 и 8, то АВ=10, и МР=АВ/2=5. По той же самой причине (сумма углов AO1M и BO2M равна 180°) треугольник О1РО2 тоже прямоугольный, так как точка Р лежит на биссектрисах этих углов. Более того, поскольку, например, угол РО1М равен половине угла АО1М, то есть равен углу МАВ, то треугольники МАВ и О1РО2 подобны. То есть О1РО2 — тоже «египетский» треугольник, подобный (3,4,5). При этом медиана треугольника МАВ, то есть МР=5; является высотой к гипотенузе треугольника О1РО2, так как касательная МР перпендикулярна линии центров О1О2. А радиусы О1М и О2М — это отрезки, на которые высота РМ делит гипотенузу О1О2. Итак, требуется найти такой «египетский» треугольник, у которого высота к гипотенузе равна 5. У обычного «египетского» треугольника высота равна 3*4/5=2,4; а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны 1,8 и 3,2 уж посчитайте, если не знаете поэтому коэффициент подобия равен 5/2,4; а искомые радиусы О2М=1,8*5/2,4=15/4 и O1M=3,2*25/12=20/3; Легко проверить, что О1М*О2М=5^2;

пользователи выбрали этот ответ лучшим
Знаете другой ответ?

Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее...