Докажите, что для любых трех точек, не лежащих на одной прямой…

Это просто утверждения о том, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон. Наверно, можно придумать какое-то «доказательство», но это чаще всего принимают аксиомой. Хотя «доказательство» в курсе геометрии также приводится. Отложим на продолжении прямой АС отрезок СD=BC. Треугольник CDB — равнобедренный, поэтому у него равны углы при основании. Очевидно, угол D больше угла ABD (внутри последнего помещается угол, равный углу D). Т. К. Против Ольшего угла лежит бОльшая сторона, то AD>AB. А т.к. AD=AC+CB, то неравенство доказано. Несколько слов о том, почему «доказательство». Дело в том, что в школьной геометрии аккуратно (а иногда и не очень) обходится стороной вопрос о том, что же такое «длина». Можно говорить о том, что это «сколько раз один отрезочек помещается в другом». Но существуют несоизмеримые отрезки (т.е. длины этих отрезков не относятся друг к другу как целые числа). Почему в таком случае все-таки длина существует, строго говоря не очень понятно. Поэтому «длину» определяют с помощью набора аксиом, одной из которых обычно выбираю неравенство треугольника.