Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан. Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1. Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Примем отрезок АН гипотенузы за х, НВ тогда 82-х Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ СН²=АН*НВ 1600=х (82-х) х²-82 х +1600=0 Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32. АН, как более короткий отрезок, равен 32, НВ=50 Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны. И отношение их катетов одинаково. Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ. АН: СН=СН: НВ=4:5 АС: СВ=4/5-Но всегда простое решение — лучше сложного. Вариант решения: Основа решения: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан. Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40. По т. Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9. И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН: НС=32:40=4/5-И вариант третий — если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 (одна из троек Пифагора) — позволяет обойтись самым минимумом вычислений.
