Рассмотрим точку Р внутри треугольника АВС и приведем через…

Я не смог нормально картинку нарисовать, пришлось вставить pdf файл. Если сложить все площади S1+S2+S3, то будут два раза учтены площади тех треугольников, которые являются пересечением любой пары из трех заданых. Каждый из них подобен исходному большому треугольнику, да и всем трем заданным. Рассмотрим пару таких треугольников — один с площадью S1, а другой — «дважды учтенный», площадью S11, вершина этого треугольника — в точке Р, а основание является частью стороны, параллельной прямой, отсекающей треугольник S1 (пусть это АВ). Высота h11+h1=h (высота, проведенная к этой самой стороне АВ в исходном треугольнике АВС). Площадь АВС обозначим S. ОТНОШЕНИЕ ВЫСОТ РАВНО ОТНОШЕНИЮ КОРНЕЙ ИЗ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Это — главное заклинание задачи Имеем (h11+h1) /h1=корень (S/S1); h11/h1=(корень (S) — корень (S1) /корень (S1); S11=S1*(корень (S) — корень (S1) /корень (S1) ^2=(корень (S) — корень (S1) ^2; Аналогично выражаются площади двух других «дважды учтенных» треугольников. ОкончательноS=S1+S2+S3 — (корень (S) — корень (S1) ^2- (корень (S) — корень (S2) ^2- (корень (S) — корень (S3) ^2; возводя в квадрат и приводя подобные, получаемS=(корень (S1)+ корень (S2)+ корень (S3) ^2/4