На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки…

Теорема. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB=∠ BCD и ∠ ABC=∠ CDA. Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, ∠ DAB+∠ BCD+∠ ABC+∠ CDA.=360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB+#8736 ABC=180 º и ∠ BCD+∠ CDA=180 º. Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.