81

В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого AB=19, BC=7…

salwin 15 мая 2018

В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого AB=19, BC=7, CD=15, AD=21, Стороны AB и CD продолжены до взаимного пересечения в точке M. Найдитедлины отрезков MB и MC.

категория: геометрия

69

К — точка пересечения диагоналей AC и BD. x=BK; y=CK; m=BM; n=CM; Подобные пары треугольников 1. BKC и AKD 2. AKB и CKD 3. MAC и MBD. В каждой паре треугольников легко указать равные углы (или общие углы, или вертикальные). Например, угол KCB=угол KDA, поскольку они опираются на дугу AB. Из подобия AKB и CKD следует AK/21=BK/7; AK=3*x; и аналогично DK=3*y; Из подобия AKB и CKD получается y/15=x/19; или x=(19/15)*y; Отсюда AC=y+3*x=(72/15)*y; BD=x+3*y=(64/15)*y; Из подобия MAC и MBD следует, во-первых, известное равенствоm/ (n+15)=n/ (m+19); то есть m*(m+19)=n*(n+15); что можно было бы и так сразу записать. Во-вторых, из подобия MAC и MBD следует менее очевидное равенство m/BD=n/AC; то есть m/ (64/15)*y=n/ (72/15)*y); или m/8=n/9; n=(9/8)*m; Если подставить это в m*(m+19)=n*(n+15); получитсяm*(m+19)=(9/8)*m*(9/8)*m+15); m+19=m*(9/8) ^2+135/8; m=8; n=9;

пользователи выбрали этот ответ лучшим
Знаете другой ответ?

Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее...